Réflexions Phthirapteriques (suite) : un peu de maths

Posté par Timothée le 3 March 2007 | , , , ,

Au cours de mon dernier (et unique) billet sur les poux des cheveux, j’avançais l’hypothèse que les traitements antipoux, et leur utilisation massive, sélectionnaient des souches résistantes. Intuitivement, ca semble logique, mais j’avais envie de montrer à quel point je suis un mathématicien génial (ou pas…) en produisant un petit modèle simplifié de sélection.

La répartition des allèles (versions) d’un gène dans une population peut être modélisée d’après la loi d‘Hardy-Weinberg, qui est l’étape obligée dans l’apprentissage de la des populations. Cette loi explique comment les allèles sont répartis dans une population donnée, grâce a deux systèmes de formules mathématiques (très simples).

Je vais prendre une situation qui correspond à notre problème de poux. On va considérer que le caractère [résistant] est codé par un unique gène résistance, possédant deux allèles r et R. R est associé à la résistance au traitement anti poux, et est issu d’une mutation. r est l’allèle le plus fréquent dans la population, et correspond à la sensibilité au traitement. Ce cas est évidemment un cas idéal. On peut considérer que sous l’appellation allèle r sont regroupés tous les allèles du gène résistance ne donnant pas de résistance.

J’ai choisi une nomenclature assez particulière, qui en général est utilisée chez les drosophilistes : le nom de mon gène est celui du phénotype (caractère) mutant correspondant. En règle générale, on utilise plutôt une autre nomenclature, mais celle la a le mérite d’être compréhensible sans problème.

Il est temps de passer à des choses franchement plus amusantes: la modélisation de tout ça en termes mathématiques.

Concernant la fréquence (le pourcentage divisé par 100, en quelque sorte : une fréquence de 1 correspond à 100%), le modèle HW nous dit que notre allèle r aura une fréquence de hr+H/2, et que notre allèle R aura une fréquence de hR+H/2.

hr est la fréquence des homozygotes pour r. Un homozygote est un individu qui porte deux copies du même allèle. Un homozygote r+r (donc hr) sera [sensible] (au traitement). De la même manière, hR est la fréquence des individus homorygotes pour R, donc de caractère [résistant]. H représente la fréquence des individus hétérozygotes, c’est à dire portant une copie de chaque allèle. J’ai considéré qu’il y avait codominance, c’est à dire que les deux allèles r et R s’exprimaient, ce qui donne aux individus hétérozygote un caractère [résistant] légèrement diminué.

Dans mon modèle, j’ai choisi de fixer les fréquences R et r. Le modèle HW permet de connaitre les fréquences hr, hR, et H à partir des fréquences r et R. On a donc hr = r2, hR = R2, et H = 2.r.R. Pour résumer les bases mathématiques du modèle

Fréquences allèliques
r = hr+H/2
R = hR+H/2

Fréquences des génotypes
hr = r2
hR = R2
H = 2.r.R

L'équilibre d'Hardy-WeinbergL’immense puissance de ce modèle est qu’il permet de connaitre, à partir d’un seul paramètre, l’ensemble des autres. Par exemple, le graphique sur le côté montre comment, en faisant varier la fréquence de l’allèle R dans la population, on peut prévoir les fréquences hr, hR, et H. Pour la modélisation, j’ai choisi de me placer dans un cas qui semble cohérent avec l’idée d’une mutation : tout à fait sur la gauche du graphique. Autrement dit, la population possède majoritairement l’allèle r, et très peu d’individus possèdent l’allèle R. On a une grande majorité de hr, quelques H, et très peu de hR.

J’ai fixé de manière arbitraire le taux de mutants R (autrement dit le pourcentage d’allèle R) dans la population à 0.15 (soit 15%). C’est un peu élevé, mais ca permet d’avoir un graphique plus esthétique par la suite.

Sans sélection : la population est à l'équilibrePour comprendre comment cette situation évolue, il suffit de faire une boucle sur un certain nombre de générations, en ré attribuant les valeurs après calcul (ca, c’est la partie programmation). Rien de très compliqué. La population est dite à l’équilibre, comme on peut le voir sur le graphique de droite: la fréquence des génotypes (hr, hR, H) ne varie pas. A ce moment la, les lecteurs attentifs se disent oui mais.

Oui mais, si on a bien des allèles sensibles et des allèles résistants, on n’a pas introduit de pression de sélection. Tout à fait. Parce que le modèle HW repose sur plusieurs hypothèses, dont l’absence de sélection liée au fait de porter l’un ou l’autre des deux allèles. Histoire de contourner ce problème, je me suis rendu à la bibliothèque locale chercher le très bon des populations : modèles de bases et applications[1], que j’ai ouvert au chapitre 7, qui traite justement de sélection.

La modification du modèle passe par l’attribution de coefficients de sélection (notés σ) à chaque génotype (hr, hR, et H). Pour rejoindre ce que j’avais mentionné dans les premiers paragraphes, j’ai utilisé les valeurs suivantes (après essais)

σH = 0.35
σhR = 0.60
σhr = 0.05

Plus un coefficient de sélection est faible, plus le fait de porter le génotype concerné est handicapant (et diminue le fitness, succès reproductif).

De la même manière, il faut redéfinir les fréquences allèliques en tenant compte de la valeur de σ pour chaque génotype

r = (σhr.r2H.r.R)/σ
R = (σhR.R2H.r.R)/σ
avec
σ = σhr.r2+2.σH.r.R+σhR.R2

Cas ou il y a une sélection : les mutants résistants sont avantagésLe temps de reprogrammer une petite boucle pour faire évoluer la population sur 10 générations, et j’ai obtenu le graphique de droite. On remarque tout de suite que le nombre d’individus hR augmente, et que la population atteint un nouvel équilibre. Les allèles r ont pratiquement tous été éliminés (les fréquences sont très faibles) : on a sélectionné uniquement des individus résistants, il est donc temps de passer à un nouveau traitement, et de recommencer le cycle…

Bien sûr, ce modèle est très simplifié. Mais de manière qualitative, il permet de prendre conscience de l’impact pas forcément bénéfique de l’utilisation massive de traitements par pesticides sur les différents , qu’ils provoquent une sensation pas très agréable dans nos cheveux, ou la destruction de cultures et des pertes économiques graves…

Remarque : C’est mon premier billet dans ce genre, donc n’hésitez pas à me faire part de vos réactions, commentaires, suggestions…

Notes

[1] J.L. Serre, Nathan Université ed.


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8 réponses pour le moment

8 réponses à “Réflexions Phthirapteriques (suite) : un peu de maths”

  1. Ouaouhh!!! Un peu tard pour que je m’arrache les cheveux sur les stats, mais intéressant. Extension de la formule “Les antibiotiques, c’est pas automatique” qui fleurit sur les murs (enfin, certains murs): “Les anti-parasitaires, c’est…”Bon, pas d’inspiration, àa tout de suite maintenant, mais ça doit se trouver.

    04 Mar 2007 à 11:33 pm

  2. Merci!

    Rien de très compliqué en fait, mais le modèle est intéressant. Une version un peu plus aboutie existe, notamment en prenant en compte une modification de σ de chaque génotype au cours du temps. En parallèle, on peut aussi introduire des migrations (une des hypothèses du modèle). Je ne sais pas si le bouquin de Serre donne des infos sur un modèle avec sélection + migrations, auquel cas ca serait intéressant de créer des petits systèmes…

    J’ai un peu approfondi ca parce que j’avais un prétexte, mais je m’étais promis de la faire depuis qu’on m’avait présenté le modèle de base.

    05 Mar 2007 à 7:46 am

  3. jmdesp

    Super modèle !

    Peut-on l’utiliser pour calculer dans combien de temps l’ASAQ sera totalement inefficace contre le paludisme ?

    Ben, oui, c’est malheureusement ce ma réaction depuis que j’ai lu les premiers article dithyrambiques sur la manière dont ce nouveau traitement va être diffusé massivement ….

    05 Mar 2007 à 9:51 am

  4. walrus

    ” C’est mon premier billet dans ce genre, donc n’hésitez pas à me faire part de vos réactions, commentaires, suggestions… “

    eh bien, c’est plutôt un bon début…

    Si tu t’intéresses à la génétique des populations, je peux te conseiller le livre “Population Genetics: a concise guide” 2nd edition, de John Gillespie (John Hopkins University Press). Il est concis (!), très clair et expose didactiquement les bases de cette discipline (mutations, dérive, séléction naturelle, linkage, génétique quantitative…) avec des exercices corrigés (probas simples, un peu de programmation…).

    sinon, ça peut être intéressant de voir comment évoluent les fréquences avec une autre hypothèse que la codominance…

    tu codes en quoi ? pq si c’est en C, j’ai moi aussi qq prog qui pourraient t’intéresser…

    05 Mar 2007 à 1:49 pm

  5. >jmdesp : très franchement, je ne pense pas. Je suis loin d’être un spécialiste en modélisation, ceci dit. Pour le paludisme, je ne sais pas, c’est difficile. Il faut savoir ce que le traitement cible, il y a plusieurs vecteurs, plusieurs agents (mais j’imagine qu’il s’attaque à Anopheles gambiae/Plasmodium falciparum ou vivax).

    La réalité est un peu plus complexe, dans la mesure ou le modèle d’Hardy-Weinberg fait quelques suppositions (dont notamment l’absence de migrations, la taille infinie de la population, et les générations séparées,…). Ceci dit, à partir d’observations empiriques, il doit être faisable de réaliser un modèle prédictif (pour essayer de savoir si la population est proche de l’équilibre ou non). Pour tout te dire, je n’en sais rien.

    >walrus : Merci! Je jetterai un oeil au livre si j’ai un peu de temps.

    Dès mon emploi du temps aura décongestionné (j’en suis au stade ou même les intervenants disent ouaouh tout ça dans une seule journée!), je vais modifier un peu le modèle, ca ne devrait pas être trop compliqué. Je comptais aussi regarder l’évolution selon la fréquence des allèles dans la population (au départ), et/ou selon les coefficients de sélection. Et puis faire une suite de graphiques, et coller tout ca dans une animation, pourquoi pas.

    Ce n’est pas du C, par contre, mais du R, probablement très mal écrit vu que je suis un autodidacte total. En gros, je lance les calculs dans une boucle, je stocke chaque valeur dans un vecteur, et je finalise avec la magique fonction plot et quelques options pour l’esthétique de la chose.

    05 Mar 2007 à 9:20 pm

  6. walrus

    ne t’inquiète pas, moi aussi je suis un autodidacte complet en matière de programmation, mais à force d’y mettre les mains et après avoir remarqué tout ce qu’on pouvait faire avec, eh bien, ça s’améliore… je vais aussi essayer de voir comment le modèle répond à différentes valeurs de paramètres (coef de fitness, freq initiales). et puis, pourquoi pas intégrer un taux de mutations ?

    06 Mar 2007 à 1:07 am

  7. franco battiato testi

    Réflexions Phthirapteriques (suite) : un peu de maths

    09 May 2007 à 3:37 pm

  8. [...] résistance aux agresseurs) s’accompagnant d’effets négatifs (diffusion des gènes, sélection des agresseurs résistants,…). Il s’agit donc d’une technique qui présente, comme beaucoup [...]

    13 Jul 2007 à 12:36 pm

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